Evolução – Fisherian Optimality Models – Parte 2

Bem a gente começou a ler sobre evolução aqui.

Agora vamos adicionar um pouco mais de complexidade ao primeiro cenário que avaliamos, mas será que maior complexidade implica em mudança? Nos vamos aumentar a complexidade introduzindo uma estrutura de idade, que é algo que podemos esperar que mude a solução anterior. Mas de fato tudo vai continuar na mesma. A introdução da complexidade não vai mudar tanto as conclusões tanto qualitativa quanto quantitativamente.

Pressupostos gerais:

1. O organismo é iteroparo
2. Fecundidade, F, aumenta com o tamanho do corpo x, que não muda depois da maturidade atingida.
3. Sobrevivência, S, diminui com o tamanho do corpo x.
4. O fitness, W, é uma função da fecundidade e da sobrevivência.

Pressupostos matemáticos:

1. Maturidade ocorre na idade 1 depois da qual não há mais crescimento.

2. A Fecundidade aumenta linearmente com o tamanho na maturidade, resultando na fecundidade sendo uma função uniforme da idade, t:

F_t=a_f+b_{f}x

3. Sobrevivência até a idade da primeira reprodução, sendo 1 aqui, diminui linearmente com o tamanho do corpo e é constante por unidade de tempo e independente do tamanho do corpo.
A sobrevivência na idade t é dada por:

S_t=(a_S-b_{S}x)e^{-M(t-1)}

onde M é a taxa de mortalidade instantânea que é independente da idade.

4. O Fitness, W, é o sucesso reprodutivo esperado ao longo da vida, R0, dado como o produto acumulado da sobrevivência e fecundidade.

W = R0= \sum\limits_{t=1}^\infty F_{t} S_t

Logo:

W= \sum\limits_{t=1}^\infty (a_F+b_{F}x)(a_S+b_{S}x)e^{-M(t-1)}

Apesar da equação acima parecer muito mais complicada que a equação do cenário 1, ela na verdade não contribui com nenhuma nova informação que muda o tamanho ótimo, já que os componente que dependem do tamanho não dependem da idade e assim podem ser movidos para fora do somatório.

Observe o seguinte, suponha a seguinte somatória:

 \sum\limits_{x=1}^{3} 3x
Isso é o mesmo que
 (3 \cdot 1) + (3 \cdot 2) + (3 \cdot 3)  = 18
Podemos por o 3 em evidência, tirando ele de dentro de cada soma certo?
 3 \cdot ((1) + (2) + (3))  = 18
Agora esse 1+2+3 é o somatório certo?
 3 \cdot (\sum\limits_{x=1}^{3} x)  = 18

Logo para nossa equação:

W= \sum\limits_{t=1}^\infty (a_F+b_{F}x)(a_S+b_{S}x)e^{-M(t-1)}

Fazemos o mesmo e tiramos a parte que não depende do tempo pra fora do somatório

W=  (a_F+b_{F}x)(a_S+b_{S}x) \cdot \sum\limits_{t=1}^\infty e^{-M(t-1)}

E podemos desenvolver essa parte como no cenário 1

W=  (a_F a_S -b_F b_S x^2 + (a_S b_F - a_F b_S)x) \cdot \sum\limits_{t=1}^\infty e^{-M(t-1)}

Dai a gente sabe que aquela somatória vai dar um valor, sei la qual, um valor que vamos chamar de constante, ja que não muda em função de x, e ele vai multiplicar toda nossa equação

W=  (a_F a_S -b_F b_S x^2 + (a_S b_F - a_F b_S)x) \cdot constante

E o que acontece com o valor ótimo quando a equação de fitness é multiplicada?

Bem a gente tem o mesmo valor ótimo, so teremos um intervalo mais estreito de valores viáveis.

Veja uma figura de um exemplo mais simples, imagine que a gente tivesse chegado na equação
W =  -Tamanho^2

O valor ótimo seria 0

01

Agora com a equação

W =  (-Tamanho^2) \cdot constante

A gente continua com o mesmo valor ótimo

02

O que nos interessa é apenas o valor ótimo aqui nessa análise. Consequentemente nos temos que a equação de fitness especificada é a mesma do cenário 1 multiplicado por uma constante, assim o tamanho ótimo continua o mesmo.

Esse é um exemplo interessante de pensar, porque muitas vezes conseguimos avaliar algumas características na evolução independente de outras, nem sempre é assim, mas aqui é um exemplo de que é plausível.

Bem é isso ai, apos um grande lag entre o ultimo post e esse, mais alguma coisa para ler, o script vai estar la no repositório recologia, e se eu escrevi alguma bobeira, algo errado, deixe um comentário corrigindo, ou mande um e-mail e até mais.

Referência:
Derek A. Roff 2010 – Modeling Evolution – an introduction to numerical methods. Oxford University Press 352pp.

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x<-seq(-2,2,0.1)
jpeg("01.jpg")
plot(x,-x^2,type="l",frame=F,ylab="Fitness",xlab="Tamanho do corpo",main="Sem constante multiplicando",ylim=c(-13,0))
abline(v=0,lty=3)
text(-1,-10,expression("Fitness=-Tamanho^2"))
dev.off()
 
jpeg("02.jpg")
plot(x,3*-x^2,type="l",frame=F,ylab="Fitness",xlab="Tamanho do corpo",main="Com constante multiplicando",ylim=c(-13,0))
abline(v=0,lty=3)
text(-1,-10,expression("Fitness=-Tamanho^2"))
dev.off()