Modelo de crescimento populacional

A famosa equação de crescimento populacional, ou crescimento densidade dependente, ou crescimento logístico.

  {dN\over dt} = r\cdot N\cdot (1-{N\over K})

Ela foi descrita a primeira vez por Pierre François Verhulst, mas depois redescrita pelo Lotka, que o nome normalmente está associada a ela. Mas o interessante é que o Lotka foi quem começou a expandir ela, como no modelo de predador presa dos coelhos e dos linces.

Mas antes gente devia pensar, hoje, porque ainda vale a pena perder tempo olhando para essa equação? se a gente pode fazer modelos infinitamente mais complexos.

modelo

O problema que apesar da gente ser sim capaz de por exemplo usar o computador para produzir modelos melhores com muitas constantes e uma excelente capacidade de predição, um r² alto, eles serão difíceis de nos fornecer insights, de pensar o que esta acontecendo o que vai acontecer justamente porque são complexos. O modelo de crescimento populacional pode ser “ruim”, ter uma capacidade de previsão pior, mas rapidamente a gente consegue insights de como o mundo funciona olhando para ele.

Então vamos olhar melhor para essa equação diferencial, alias chama diferencial que ela fala a diferença de uma quantidade (N, tamanho populacional) dada uma diferença de tempo (t, tempo).
Além desses dois itens temos o r que é a taxa de crescimento.

Mas olhando ela a gente pode separar ela em duas partes.

Essa:

  r\cdot N

Que nos diz o que? A população cresce numa taxa R, e quanto maior o N, mais ela cresce, como o N cresce constantemente o crescimento é exponencial, considerando so esse pedacinho. Mas ele multiplica outra parte que é…

  (1-{N\over K})

Agora olha ai, é 1- N dividido por k, k é um numero fixo, a capacidade suporte e N é o tamanho da população. Aqui a gente pode pensar em termos de 3 momentos.
Primeiro quando a população N for bem pequenininha, vamos ter um número pequenininho divido por k, um numero grande, logo algo pequeno dividido por algo grande vai ser um númerozinho bemmmm pequeno, e 1 menos um numero pequeno, quase nada, da praticamente 1, logo o crescimento é rápido, praticamente exponencial.

Com o tempo o N vai aumentando, até o N ficar grande, quando o N ficar grande, vai ser um numero grande dividido por um numero grande, que vai dar 0, logo toda a equação vai ser multiplicada por 0 e o crescimento vai dar zero, assim a população se mantém estável no valor de k.

E por ultimo e muito interessante, é que se N for um numero maior que o K, o que vai acontecer?, a divisão vai ser um numero negativo maior que 1, logo 1 menos um numero negativo maior que 1 vai dar um numero negativo, e o crescimento vai multiplicar um número negativo, então vai ser negativo, e isso até ele voltar a população voltar a k.

Magnifico não?

podemos fazer uma função simples no R para calcular o crescimento logístico e ficar brincando com ela para ver se essas predições ocorrem. Alias isso é bem legal, ficar mudando os valores para ver se todas essas coisas funcionam assim mesmo.

#Função
dlogistic <- function(K= 100, rd = 1, N0 = 2, t = 15) {
N <- c(N0, numeric(t))
for (i in 1:t) N[i + 1] <- {
N[i] + rd * N[i] * (1 -N[i]/K)
}
return(N)
}
 
#Gerando a população com os argumentos padrão
Nts <- dlogistic()
 
#Grafico
t <- 15
k <- 100
plot(0:t, Nts,xlab="Tempo",ylab="Tamanho da População")
abline(h = k, lty = 3)
text(5,k-5,"Capacidade Suporte")

E temos nosso gráfico

01

Outra coisa ainda é pensar como diabos as pessoas pensam nessas formulas, o professor Gotteli demonstra como da para chegar na equação de crescimento logístico das taxas de natalidade e mortalidade.

Começamos que o crescimento é a natalidade menos a mortalidade

 {dN\over dt} = (b\cdot N-d\cdot N)*N

A taxa de natalidade de um momento vai ser o que nasceu em um ano menos o que nasceu no outro, lembrando que a natalidade não é constante, começa a falta alimento, espaço ela diminui, ou seja como esta mudando a natalidade, a mortalidade vai ser o mesmo esquema

 bN = b_{0}-b_{1}\cdot N

Substituimos isso para a natalidade e a mortalidade

 {dN\over dt} = ((b_{0}-b_{1}\cdot N) - (d_{0}-d_{1}\cdot N))\cdot N

Com algum algebrismo mexemos agora as coisa para ca, para la. Se você como eu é pessimo de algebra, pode estudar junto comigo aqui 🙂

 {dN\over dt} = (b_{0}-d_{0})\cdot N\cdot (1-{(b_{1}-d_{1})\over (b_{0}-d_{0})}\cdot N)

E no final temos a equação de crescimento logístico, igualzinho la em cima, so trocar esses termos por r e k.

  {dN\over dt} = r\cdot N\cdot (1-{N\over K})

Bem, vamos tentar falar um pouco mais disso, principalmente porque dessa equação que a gente chega em metapopulações, que é um conjunto de populações, ou se preferir um conjunto dessas equações heheh.

Referencias:

Soetaert, K, Herman, P M. J. – 2008 – A Practical Guide to Ecological Modelling Springer

Stevens, M. H. – 2011 – A Primer of Ecology with R Srpinger

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